в правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания 60° высота пирамиды равна 3 см найдите площадь поверхности пирамиды
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволит нам найти длину бокового ребра пирамиды. Далее, используя формулу для вычисления площади поверхности пирамиды, найдем искомое значение.
Найдем длину бокового ребра пирамиды:
Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной пирамиды, её высотой и половиной диагонали основания пирамиды. Данный треугольник является прямоугольным, где:
- Гипотенуза (боковое ребро пирамиды) — обозначим как l
- Высота пирамиды — 3 см
- Угол между плоскостью основания и боковым ребром — 60°
Применим косинус угла 60°: \[ \cos 60° = \frac{{\text{прилегающий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{3}{l} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{l} \] \[ l = 6 \, \text{см} \]
Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна 6 см.
Найдем площадь поверхности пирамиды:
Площадь поверхности пирамиды можно разделить на площадь основания и площадь боковой поверхности.
Площадь основания: Поскольку основание четырехугольной пирамиды является правильным четырехугольником, будем считать его равносторонним. Пусть сторона основания равна a см. Тогда площадь основания:
\[ S_{\text{осн}} = a^2 \]Площадь боковой поверхности: Площадь каждой из боковых треугольных граней равна половине произведения периметра основания на длину бокового ребра, учитывая, что в четырехугольной пирамиде 4 таких треугольных грани.
\[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot \left(\frac{{a \cdot l}}{2}\right) \]
Таким образом, общая площадь поверхности пирамиды:
\[ S_{\text{пир}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]Где a = 6 см (сторона основания) и l = 6 см (боковое ребро).
Подставим значения в формулы и вычислим площадь поверхности пирамиды: \[ S_{\text{пир}} = 6^2 + 4 \cdot \left(\frac{{6 \cdot 6}}{2}\right) = 36 + 4 \cdot 18 = 36 + 72 = 108 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна 108 см².
