3. Если в серии из 10 испытаний Бернулли 4 успеха и 6 неудач, чему равна её вероятность?

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение вероятностей.

Пусть \( n \) - число испытаний, \( p \) - вероятность успеха, \( q = 1 - p \) - вероятность неудачи.

В данной задаче у нас 10 испытаний, из которых 4 успеха и 6 неудач. Это означает, что \( n = 10 \), \( k = 4 \) (количество успехов), \( n - k = 6 \) (количество неудач).

Формула для вероятности успеха \( P(X = k) \) в биномиальном распределении:

\[ P(X = k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \]

Где \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \), равное \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь подставим наши данные в формулу:

\[ P(X = 4) = C_{10}^4 \times p^4 \times q^6 \]

Теперь найдем каждое из значений:

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

У нас не дана точная вероятность успеха \( p \), но мы можем найти её, учитывая, что из 10 испытаний 4 являются успехами. То есть вероятность успеха \( p = \frac{4}{10} = 0.4 \), а соответственно вероятность неудачи \( q = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Подставляем в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \times 0.4^4 \times 0.6^6 \]

\[ P(X = 4) = 210 \times 0.0256 \times 0.046656 \]

\[ P(X = 4) ≈ 0.2488 \]

Итак, вероятность того, что в серии из 10 испытаний Бернулли будет 4 успеха и 6 неудач, примерно равна 0.2488 или около 24.88%.