реши задание
Для решения задания найдем значение выражения:
\[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 \cdot \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 \]
при \(a = \frac{1}{3}\) и \(x = -\frac{\sqrt{5}}{6}\).
Шаг 1: Подставим значения переменных
Подставим \(a = \frac{1}{3}\) и \(x = -\frac{\sqrt{5}}{6}\) в выражение.
- Найдем \(\left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4\):
\[ \frac{2x^2}{a^3} = \frac{2(-\frac{\sqrt{5}}{6})^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{2 \cdot \frac{5}{36}}{\frac{1}{27}} = \frac{\frac{10}{36}}{\frac{1}{27}} = \frac{10 \cdot 27}{36} = \frac{270}{36} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2} \]
Теперь возведем \(\frac{15}{2}\) в четвертую степень:
\[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 = \frac{15^4}{2^4} = \frac{50625}{16} \]
- Найдем \(\left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2\):
\[ \frac{a^5}{4x^4} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^5}{4(-\frac{\sqrt{5}}{6})^4} = \frac{\frac{1}{243}}{4 \cdot \frac{25}{1296}} = \frac{\frac{1}{243}}{\frac{100}{1296}} = \frac{1296}{243 \cdot 100} = \frac{1296}{24300} \]
Сократим дробь:
\[ \frac{1296}{24300} = \frac{432}{8100} = \frac{72}{1350} = \frac{24}{450} = \frac{4}{75} \]
Теперь возведем \(\frac{4}{75}\) в квадрат:
\[ \left( \frac{4}{75} \right)^2 = \frac{16}{5625} \]
Шаг 2: Найдем произведение
Умножим оба результата:
\[ \frac{50625}{16} \cdot \frac{16}{5625} = \frac{50625 \cdot 16}{16 \cdot 5625} = \frac{50625}{5625} = 9 \]
Таким образом, значение выражения равно \(9\).
