1. Дана арифметическая прогрессия из 100 членов. Более половины её членов - целые числа. Докажите, что все числа этой прогрессии - целые.

Для доказательства того, что все члены данной арифметической прогрессии являются целыми числами, давайте представим общий вид арифметической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен \( a \), шаг (разность между соседними членами) равен \( d \), а порядковый номер члена равен \( n \). Общий член арифметической прогрессии задается формулой:

\[ a_n = a + (n - 1) \cdot d \]

Мы знаем, что более половины членов прогрессии являются целыми числами. Предположим, что не все числа в этой прогрессии являются целыми. Обозначим первый нецелый член как \( a_k \), где \( k \) - наименьший порядковый номер нецелого члена прогрессии.

Теперь рассмотрим прогрессию, начиная с элемента \( a_k \), с шагом \( d \). Этот ряд будет иметь вид \( a_k, a_k + d, a_k + 2d, \ldots \).

Так как более половины членов прогрессии являются целыми, то среди первых \( k - 1 \) членов \( a_1, a_2, \ldots, a_{k-1} \) должно быть не менее \( \lceil \frac{k-1}{2} \rceil \) целых чисел. Обозначим количество нецелых чисел среди этих \( k - 1 \) членов как \( m \), где \( m < \lceil \frac{k-1}{2} \rceil \).

Тогда среди первых \( k + m - 1 \) членов прогрессии будут ровно \( k - 1 \) целое число и \( m \) нецелое число. То есть, \( k + m - 1 \geq \lceil \frac{k-1}{2} \rceil \).

Однако если просуммировать \( k + m - 1 \) членов последовательности \( a_k, a_k + d, a_k + 2d, \ldots \), мы должны получить целое число, так как все их должны быть целыми. Если в этой сумме уже было \( k - 1 \) целое число, а следующее число является нецелым, то сумма не может быть целым числом.

Таким образом, противоречие. Предположение о том, что в прогрессии существуют нецелые числа, неверно. Следовательно, все члены данной арифметической прогрессии являются целыми числами.