Для доказательства того, что все члены данной арифметической прогрессии являются целыми числами, давайте представим общий вид арифметической прогрессии.
Пусть первый член прогрессии равен ( a ), шаг (разность между соседними членами) равен ( d ), а порядковый номер члена равен ( n ). Общий член арифметической прогрессии задается формулой:
[ a_n = a + (n - 1) \cdot d ]
Мы знаем, что более половины членов прогрессии являются целыми числами. Предположим, что не все числа в этой прогрессии являются целыми. Обозначим первый нецелый член как ( a_k ), где ( k ) - наименьший порядковый номер нецелого члена прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию, начиная с элемента ( a_k ), с шагом ( d ). Этот ряд будет иметь вид ( a_k, a_k + d, a_k + 2d, \ldots ).
Так как более половины членов прогрессии являются целыми, то среди первых ( k - 1 ) членов ( a_1, a_2, \ldots, a_{k-1} ) должно быть не менее ( \lceil \frac{k-1}{2} \rceil ) целых чисел. Обозначим количество нецелых чисел среди этих ( k - 1 ) членов как ( m ), где ( m < \lceil \frac{k-1}{2} \rceil ).
Тогда среди первых ( k + m - 1 ) членов прогрессии будут ровно ( k - 1 ) целое число и ( m ) нецелое число. То есть, ( k + m - 1 \geq \lceil \frac{k-1}{2} \rceil ).
Однако если просуммировать ( k + m - 1 ) членов последовательности ( a_k, a_k + d, a_k + 2d, \ldots ), мы должны получить целое число, так как все их должны быть целыми. Если в этой сумме уже было ( k - 1 ) целое число, а следующее число является нецелым, то сумма не может быть целым числом.
Таким образом, противоречие. Предположение о том, что в прогрессии существуют нецелые числа, неверно. Следовательно, все члены данной арифметической прогрессии являются целыми числами.
