Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель – на 3, то получится . Найдите эту дробь. Ответ запишите в виде дроби.

Цель: Понять

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим числитель дроби за \(x\), а знаменатель за \(2 + x\) (знаменатель дроби на 2 больше числителя).

По условию задачи, если мы увеличим числитель на 15 и знаменатель на 3, то получим новую дробь \(\frac{{x + 15}}{{(2 + x) + 3}} = \frac{{x + 15}}{{x + 5}}\).

Условие говорит нам, что новая дробь равна \(\frac{7}{3}\).

Теперь составим уравнение на основе данной информации:

\(\frac{{x + 15}}{{x + 5}} = \frac{7}{3}\)

Умножим обе части на \(3(x + 5)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(3(x + 15) = 7(x + 5)\)

Откроем скобки и решим полученное уравнение:

\(3x + 45 = 7x + 35\)

\(45 - 35 = 7x - 3x\)

\(10 = 4x\)

\(x = \frac{10}{4}\)

\(x = \frac{5}{2}\)

Теперь найдем знаменатель:

\(2 + x = 2 + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\)

Итак, данная дробь равна \(\frac{5}{2}\) или \(2\frac{1}{2}\).

Проверим наше решение:

Если числитель равен 5, а знаменатель равен 9, то дробь \(\frac{5}{9}\).

Если увеличить числитель на 15 (5 + 15 = 20) и знаменатель на 3 (9 + 3 = 12), то получим дробь \(\frac{20}{12} = \frac{5}{3}\), что соответствует условию задачи.

Таким образом, искомая дробь равна \(\frac{5}{9}\).