Найдите дисперсию дискретной случайной величины Х— числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.

Решение:

Для решения данной задачи нам необходимо определить формулу для вычисления дисперсии дискретной случайной величины.

Дисперсия случайной величины \(X\) вычисляется по формуле:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

где \(E(X)\) - математическое ожидание случайной величины \(X\).

Для игральной кости, диапазон значений случайной величины \(X\) равен \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), а вероятности каждого значения равны \(\frac{1}{6}\), так как у нас равновероятные исходы на кости.

1. Найдем математическое ожидание \(E(X)\) для случайной величины Х: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i) \] \[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \] \[ E(X) = \frac{21}{6} = 3.5 \]

2. Найдем математическое ожидание квадрата \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 \cdot P(X = x_i) \] \[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} \] \[ E(X^2) = \frac{91}{6} \]

3. Теперь можем найти дисперсию \(X\): \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{21}{6}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{441}{36} = \frac{91}{6} - \frac{441}{6} = -\frac{350}{6} = -58.33 \]

Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины \(X\) (числа очков на игральной кости) равна -58.33.