Найдите дисперсию дискретной случайной величины Х— числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости. (решить задачу)

Для нахождения дисперсии \( \text{D}(X) \) дискретной случайной величины \( X \) (числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости), нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим математическое ожидание \( \text{E}(X) \) для данной дискретной случайной величины \( X \).
   Поскольку у нас стандартная игральная кость, на каждой грани выпадает число от 1 до 6 с одинаковой вероятностью.
   Математическое ожидание для игральной кости будет равно: \[ \text{E}(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]

2. Теперь найдем дисперсию \( \text{D}(X) \) по определению, используя формулу: \[ \text{D}(X) = \text{E}\left((X - \text{E}(X))^2\right) \] \[ \text{D}(X) = \sum_{i=1}^{6} p_i (x_i - \text{E}(X))^2 \] где:

• \( p_i \) - вероятность выпадения каждого числа (в данном случае \( p_i = \frac{1}{6} \)),
• \( x_i \) - число, соответствующее выпадению данной грани игральной кости.

3. Подставим значения в формулу и выполним вычисления: \[ \text{D}(X) = \frac{1}{6} \left[(1 - 3.5)^2 + (2 - 3.5)^2 + (3 - 3.5)^2 + (4 - 3.5)^2 + (5 - 3.5)^2 + (6 - 3.5)^2\right] \] \[ \text{D}(X) = \frac{1}{6} \left[(-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (2.5)^2\right] \] \[ \text{D}(X) = \frac{1}{6} \left[6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25\right] \] \[ \text{D}(X) = \frac{17.5}{6} \approx 2.92 \]

Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины \( X \) (количество очков на игральной кости) составляет примерно 2.92.