Задания 9

Для решения задачи №9, нужно решить квадратное неравенство: \[5x^2 - 7x + 2 \leq 0\] ### Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения Сначала решим квадратное уравнение: \[5x^2 - 7x + 2 = 0\] Используем формулу для корней квадратного уравнения: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] где \(a = 5\), \(b = -7\), \(c = 2\). Подставим значения: \[x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}\] \[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}\] \[x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{10}\] \[x = \frac{7 \pm 3}{10}\] Таким образом, получаем два корня: \[x_1 = \frac{7 + 3}{10} = 1\] \[x_2 = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4\] ### Шаг 2: Начертить числовую прямую и определить знаки Расположим корни на числовой прямой и исследуем знаки произведения в каждом из интервалов: 1. \(x < 0.4\) 2. \(0.4 \leq x \leq 1\) 3. \(x > 1\) Выбираем тестовые точки из каждого интервала: - Для интервала \(x < 0.4\) возьмем, например, \(x = 0\). - Для интервала \(0.4 \leq x \leq 1\) возьмем, например, \(x = 0.5\). - Для интервала \(x > 1\) возьмем, например, \(x = 2\). ### Шаг 3: Проверка знаков Подставим значения и проверим знаки: - \(x = 0\): \(5 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 2 = 2\), знак \(+\). - \(x = 0.5\): \(5 \cdot (0.5)^2 - 7 \cdot 0.5 + 2 = 5 \cdot 0.25 - 3.5 + 2 = 1.25 - 3.5 + 2 = -0.25\), знак \(-\). - \(x = 2\): \(5 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 20 - 14 + 2 = 8\), знак \(+\). ### Шаг 4: Записать решение Неравенство выполняется там, где выражение отрицательное или равно нулю, то есть на отрезке \([0.4, 1]\). Таким образом, решение: \[0.4 \leq x \leq 1\] Это и есть ответ на данное неравенство.