Задания 9
Для решения задачи №9, нужно решить квадратное неравенство:
\[5x^2 - 7x + 2 \leq 0\]
Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения
Сначала решим квадратное уравнение:
\[5x^2 - 7x + 2 = 0\]
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
где \(a = 5\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Подставим значения:
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}\]
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10}\]
\[x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{10}\]
\[x = \frac{7 \pm 3}{10}\]
Таким образом, получаем два корня:
\[x_1 = \frac{7 + 3}{10} = 1\]
\[x_2 = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4\]
Шаг 2: Начертить числовую прямую и определить знаки
Расположим корни на числовой прямой и исследуем знаки произведения в каждом из интервалов:
- \(x < 0.4\)
- \(0.4 \leq x \leq 1\)
- \(x > 1\)
Выбираем тестовые точки из каждого интервала:
- Для интервала \(x < 0.4\) возьмем, например, \(x = 0\).
- Для интервала \(0.4 \leq x \leq 1\) возьмем, например, \(x = 0.5\).
- Для интервала \(x > 1\) возьмем, например, \(x = 2\).
Шаг 3: Проверка знаков
Подставим значения и проверим знаки:
- \(x = 0\): \(5 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 2 = 2\), знак \(+\).
- \(x = 0.5\): \(5 \cdot (0.5)^2 - 7 \cdot 0.5 + 2 = 5 \cdot 0.25 - 3.5 + 2 = 1.25 - 3.5 + 2 = -0.25\), знак \(-\).
- \(x = 2\): \(5 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 20 - 14 + 2 = 8\), знак \(+\).
Шаг 4: Записать решение
Неравенство выполняется там, где выражение отрицательное или равно нулю, то есть на отрезке \([0.4, 1]\).
Таким образом, решение:
\[0.4 \leq x \leq 1\]
Это и есть ответ на данное неравенство.
