Дана Функция y=x2:x2+1. Найдите её область определения и множество значений
Для данной функции \( y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \) нужно найти её область определения и множество значений.
Область определения (D):
Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента \( x \), при которых функция определена.
В данном случае, функция определена при любых значениях \( x \), за исключением тех, которые делают знаменатель равным нулю, так как деление на ноль невозможно.
Таким образом, решим уравнение \( x^2 + 1 = 0 \) для нахождения запрещённых значений: \[ x^2 + 1 = 0 \] \[ x^2 = -1 \]
Уравнение \( x^2 = -1 \) не имеет действительных корней, так как квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, область определения функции \( y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \) - это множество всех вещественных чисел \( x \).Множество значений (E):
Множество значений функции - это множество всех возможных значений функции \( y \) для всех допустимых аргументов \( x \).
Для нахождения множества значений следует анализировать поведение функции.
Обратите внимание, что при \( x \to \infty \) или \( x \to -\infty \), функция стремится к \( y = 1 \), так как член \( x^2 \) будет иметь гораздо большее значение по сравнению с 1 в знаменателе.
Таким образом, множество значений функции \( y = \frac{x^2}{x^2 + 1} \) - это множество всех вещественных чисел, кроме \( y = 1 \), которое достигается в пределе при \( x \to \pm \infty \).
