Существует ли треугольник, биссектрисы которого перпендикулярны?

Да, существует треугольник, у которого биссектрисы перпендикулярны друг другу. Такой треугольник называется ортоцентрическим треугольником. В ортоцентрическом треугольнике биссектрисы углов пересекаются в его ортоцентре и образуют перпендикулярный пересекающий угол.