4x²+12x+9=(x-4)²

Дано уравнение: \(4x^2 + 12x + 9 = (x-4)^2\).

Решение:

1. Раскроем скобку \((x-4)^2\):

\((x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\)

2. Подставим это значение обратно в уравнение:

\(4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16\)

3. Приведем подобные слагаемые на одну сторону уравнения:

\(4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0\)
\(3x^2 + 20x - 7 = 0\)

4. Решим уравнение:

Для решения квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) воспользуемся формулой:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{{2a}}\]

Сравнивая с уравнением \(3x^2 + 20x - 7 = 0\), получаем: \(a = 3, b = 20, c = -7\)

Теперь подставим в формулу: \[x = \frac{{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4*3*(-7)}}}{{2*3}}\]
\[x = \frac{{-20 \pm \sqrt{400 + 84}}}{{6}}\]
\[x = \frac{{-20 \pm \sqrt{484}}}{{6}}\]
\[x = \frac{{-20 \pm 22}}{{6}}\]

Теперь найдем два корня уравнения:

1. \(x_1 = \frac{{-20 + 22}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
2. \(x_2 = \frac{{-20 - 22}}{6} = \frac{-42}{6} = -7\)

5. Ответ:

У уравнения \(4x^2 + 12x + 9 = (x-4)^2\) есть два корня: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = -7\).