Контрольная работа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» Вариант 1 1. Найти восьмой член и формулу п-го члена арифметической прогрессии 29; 23... 2. Найти первый…

Решение:

1. Найти восьмой член и формулу п-го члена арифметической прогрессии 29; 23...

   Дано: первый член (a) = 29, разность (d) = 23

   Для нахождения восьмого члена арифметической прогрессии используем формулу: \[ a_n = a + (n-1)d \] Подставляем значения: \[ a_8 = 29 + (8-1) \times 23 \] \[ a_8 = 29 + 7 \times 23 \] \[ a_8 = 29 + 161 \] \[ a_8 = 190 \]

   Формула для нахождения п-го члена арифметической прогрессии выглядит как: \[ a_p = a + (p-1)d \]

2. Найти первый член и сумму 12 первых членов арифметической

   Для нахождения первого члена (a) и суммы первых 12 членов арифметической прогрессии воспользуемся формулами: \[ a = a_1 = 29 \] \[ S_{12} = \frac{n}{2}(a + a_n) \] Подставляем: \[ S_{12} = \frac{12}{2}(29 + 190) \] \[ S_{12} = 6 \times 219 \] \[ S_{12} = 1314 \]

3. Найти сумму 15 первых членов последовательности, заданной формулой \( a_n = 3n - 1 \)

   Для нахождения суммы первых 15 членов последовательности используем формулу для члена последовательности: \[ a_n = 3n - 1 \] Сумма первых 15 членов: \[ S_{15} = \frac{n}{2}(a_1 + a_{15}) \] Подставляем значения: \[ S_{15} = \frac{15}{2}(3(1) - 1 + 3(15) - 1) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}(2 + 44) \] \[ S_{15} = 7 \times 15 \times 23 \] \[ S_{15} = 2415 \]

4. Найти пятый член и сумму шести первых членов геометрической прогрессии 12; -6; ...

   Дано: первый член (a) = 12, знаменатель геометрической прогрессии (q) = -6

   Находим пятый член геометрической прогрессии: \[ a_5 = a \times q^{(5-1)} \] \[ a_5 = 12 \times (-6)^4 \] \[ a_5 = 12 \times 1296 \] \[ a_5 = 15552 \]

   Для нахождения суммы шести первых членов геометрической прогрессии воспользуемся формулой: \[ S_6 = a \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Подставляем значения: \[ S_6 = 12 \times \frac{(-6)^6 - 1}{-6 - 1} \] \[ S_6 = 12 \times \frac{46655}{-7} \] \[ S_6 = -84,240 \]

5. Найти первый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bn), если b2 = 16 и b4 = 144.

   Дано: \( b_2 = 16 \) и \( b_4 = 144 \)

   Известно, что \( b_2 = b_1 \times q \) и \( b_4 = b_1 \times q^3 \)

   Решаем систему уравнений для нахождения первого члена (b1) и знаменателя (q): \( b_2 = 16 = b_1 \times q \) \( b_4 = 144 = b_1 \times q^3 \)

   Решив систему, находим \( b_1 = 4 \) и \( q = 3 \)

   Далее, находим сумму первых четырех членов геометрической прогрессии: \[ S_4 = b_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \] \[ S_4 = 4 \times \frac{3^4 - 1}{3 - 1} \] \[ S_4 = 4 \times \frac{80}{2} \] \[ S_4 = 160 \]

6. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140.

   Для нахождения суммы всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140, сначала найдем количество таких чисел: \[ \text{Последнее кратное 8 до 140} = 136 \] \[ \text{Количество чисел} = \frac{136}{8} + 1 = 18 \]

   Теперь применим формулу для суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] где \( n = 18 \), \( a_1 = 8 \), \( a_n = 136 \)

   \[ S = \frac{18}{2} (8 + 136) = 9 \times 144 = 1296 \]

Таким образом, данные задачи по арифметическим и геометрическим прогрессиям решены, учитывая указанную информацию.