Реши
Давайте разберёмся с этим выражением шаг за шагом.
Задача: Найти значение выражения \(\frac{3}{2a} - \frac{b}{5b} \left( \frac{b - a}{2} \right)\), если \(a = \sqrt{48}\) и \(b = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Шаг 1: Подставим значения переменных.
- \(a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
- \(b = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Теперь подставим их в выражение:
\[ \frac{3}{2a} - \frac{b}{5b} \cdot \left( \frac{b - a}{2} \right) \]
Шаг 2: Упростим каждую часть.
Первая дробь: \(\frac{3}{2a} = \frac{3}{2 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{3}{8\sqrt{3}}\). Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{3}{8\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{8} \]
Вторая дробь: \(\frac{b}{5b} = \frac{1/\sqrt{3}}{5 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{1/\sqrt{3}}{5/\sqrt{3}} = \frac{1}{5}\).
Разность: \(b - a = \frac{1}{\sqrt{3}} - 4\sqrt{3}\). Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 12}{\sqrt{3}} = \frac{-11}{\sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{-11}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{-11\sqrt{3}}{3} \] Уменьшим: \(\frac{b - a}{2} = \frac{-11\sqrt{3}}{6}\).
Шаг 3: Найдём вторую часть выражения.
Теперь подставим всё: \[ -\frac{1}{5} \cdot \frac{-11\sqrt{3}}{6} = \frac{11\sqrt{3}}{30} \]
Шаг 4: Соберём всё вместе.
Теперь у нас две части:
- \(\frac{\sqrt{3}}{8}\)
- Минус второй компонент: \(-\frac{11\sqrt{3}}{30}\)
Приведём к общему знаменателю:
Общий знаменатель 120: \[ \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{15\sqrt{3}}{120} \] \[ \frac{11\sqrt{3}}{30} = \frac{44\sqrt{3}}{120} \]
Сложим дроби: \[ \frac{15\sqrt{3}}{120} - \frac{44\sqrt{3}}{120} = \frac{-29\sqrt{3}}{120} \]
Действительное значение:
- \(\frac{-29\sqrt{3}}{120}\)
Это значение выражения при заданных \(a\) и \(b\).
