Для нахождения тангенса угла α, если известен косинус, можно воспользоваться определением тангенса через косинус и синус угла:
[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} ]
Для начала применим формулу для нахождения синуса угла через косинус с использованием тригонометрической формулы для синуса в косинусе:
[ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) ]
Учитывая, что ( \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{37}} ), выразим синус:
[ \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{37}}\right)^2 ]
[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{37} ]
[ \sin^2(\alpha) = \frac{37}{37} - \frac{1}{37} ]
[ \sin^2(\alpha) = \frac{36}{37} ]
[ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{36}{37}} ]
Так как угол α лежит на отрезке от π до 3π/2, то синус α в этом диапазоне будет положительным. Поэтому:
[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{36}{37}} = \frac{6}{\sqrt{37}} ]
Теперь найдем тангенс α, используя выражения для синуса и косинуса:
[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{6}{\sqrt{37}}}{\frac{1}{\sqrt{37}}} = 6 ]
Таким образом, тангенс угла α равен 6.
