Реши задачи с картинки

Давайте разберем каждую задачу: ### 1. Эллипс Уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Дано уравнение: \[ x^2 + 5y^2 = 15 \] Приведем его к стандартному виду: \[ \frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{3} = 1 \] Таким образом, \(a^2 = 15\) и \(b^2 = 3\), отсюда \(a = \sqrt{15}\) и \(b = \sqrt{3}\). **Фокусы** находятся на оси \(x\) (так как \(a > b\)): \((c, 0)\) и \((-c, 0)\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{15 - 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). **Вершины**: \((\sqrt{15}, 0)\), \((- \sqrt{15}, 0)\). **Директрисы**: \(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{15}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{2}\). ### 2. Уравнение гиперболы Гипербола описывается стандартным уравнением: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Имеет асимптоты, проходящие через точку M(9/2, -1), значит, в фокусах \(9 - \frac{1}{b^2} = 0\). Составляем: уравнение по асимптотам (предполагая, что это горизонтальные и вертикальные асимптоты): \[ \left(\frac{x}{a}\right)^2 = \left(\frac{y}{b}\right)^2 \] Решение системы уравнений для определения \(a^2\) и \(b^2\) (может потребоваться конкретизация, например указание, параллельная ли ось вращения). ### 3. Уравнение вращенной фигуры Поворот площади вокруг оси \(x\) или \(y\). Уравнение оси \(x = 4/9\) со скатыванием фигуры вокруг оси. Для фигуры вокруг оси \(x\): \(\pi \int (r^2) \, dy\), где \(r\) — радиус вращения функции, представленной линейным равенством, \((x \pm 4/9)^2\). ### 4. Парабола Уравнение: \(y^2 = 4ax\). Перепишем уравнение: \[ (y-9)^2 = 18(x + 5/2) \] Имеем ось \(OY\): центр находится, используем преобразования \( y = ax^2 + bx + c \). Найти пересечение с осью \(OY\). ### 5. Прямолинейное движение Парабола \(z = ax^2 + by^2\) с добавлением \( k \). Рассматривая секущую плоскость, можно определить общий коэффициент уравнений плоскости. Рассчитываем с учетом заданных вершин и определяем веса для уравнений поверхности. Система уравнений: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Решается через известные значения точки пересечения \(M\). Эти базовые шаги помогут в решении каждой задачи. Для более детального решения нужно дополнение точной информации об условиях задачи.