Реши задачи с картинки

Давайте разберем каждую задачу:

1. Эллипс

Уравнение эллипса:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Дано уравнение:

\[ x^2 + 5y^2 = 15 \]

Приведем его к стандартному виду:

\[ \frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{3} = 1 \]

Таким образом, \(a^2 = 15\) и \(b^2 = 3\), отсюда \(a = \sqrt{15}\) и \(b = \sqrt{3}\).

Фокусы находятся на оси \(x\) (так как \(a > b\)): \((c, 0)\) и \((-c, 0)\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{15 - 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Вершины: \((\sqrt{15}, 0)\), \((- \sqrt{15}, 0)\).

Директрисы: \(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{15}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{2}\).

2. Уравнение гиперболы

Гипербола описывается стандартным уравнением:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Имеет асимптоты, проходящие через точку M(9/2, -1), значит, в фокусах \(9 - \frac{1}{b^2} = 0\).

Составляем: уравнение по асимптотам (предполагая, что это горизонтальные и вертикальные асимптоты):

\[ \left(\frac{x}{a}\right)^2 = \left(\frac{y}{b}\right)^2 \]

Решение системы уравнений для определения \(a^2\) и \(b^2\) (может потребоваться конкретизация, например указание, параллельная ли ось вращения).

3. Уравнение вращенной фигуры

Поворот площади вокруг оси \(x\) или \(y\).

Уравнение оси \(x = 4/9\) со скатыванием фигуры вокруг оси.
Для фигуры вокруг оси \(x\): \(\pi \int (r^2) \, dy\), где \(r\) — радиус вращения функции, представленной линейным равенством, \((x \pm 4/9)^2\).

4. Парабола

Уравнение: \(y^2 = 4ax\).
Перепишем уравнение:

\[ (y-9)^2 = 18(x + 5/2) \]

Имеем ось \(OY\): центр находится, используем преобразования \( y = ax^2 + bx + c \). Найти пересечение с осью \(OY\).

5. Прямолинейное движение

Парабола \(z = ax^2 + by^2\) с добавлением \( k \). Рассматривая секущую плоскость, можно определить общий коэффициент уравнений плоскости.

Рассчитываем с учетом заданных вершин и определяем веса для уравнений поверхности. Система уравнений:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Решается через известные значения точки пересечения \(M\).

Эти базовые шаги помогут в решении каждой задачи. Для более детального решения нужно дополнение точной информации об условиях задачи.