Решить задачи с рисунком

Решим каждую задачу по очереди:

Задача 1

Условие: Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 25π см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

1. Площадь основания цилиндра
   \[ S_{\text{осн}} = 25\pi \] Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), отсюда можно найти радиус \(r\): \[ \pi r^2 = 25\pi \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5 \text{ см} \]

2. Высота цилиндра
   Так как осевое сечение — квадрат, и его сторона равна диаметру основания, то высота цилиндра равна диаметру основания: \[ h = 2r = 10 \text{ см} \]

3. Площадь боковой поверхности цилиндра
   Формула для площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi rh \] Подставим найденные значения: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi \times 5 \times 10 = 100\pi \text{ см}^2 \]

Задача 2

Условие: Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найти радиус основания
   С осевым сечением имеем равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и высотой 9 см. Проводим перпендикуляр от вершины к основанию, делящий угол пополам, то есть по 60° на каждый. Используем тригонометрическую функцию тангенс: \[ \tan 60° = \frac{r}{9} \] Где \(r\) — радиус основания. Тангенс 60° равен \(\sqrt{3}\), поэтому: \[ \sqrt{3} = \frac{r}{9} \Rightarrow r = 9\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Образующая конуса
   По теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{9^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 243} = \sqrt{324} = 18 \text{ см} \]

3. Площадь боковой поверхности
   Формула: \[ S_{\text{бок}} = \pi rl \] Подставим значения: \[ S_{\text{бок}} = \pi \times 9\sqrt{3} \times 18 = 162\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Задача 3

Условие: Сфера вписана в цилиндр, осевое сечение которого равно длине окружности основания. Найдите диаметр сферы.

Решение:

1. Диаметр основания цилиндра
   Пусть длина окружности основания цилиндра равна длине осевого сечения. Диаметр основания равен высоте цилиндра: \[ C = \pi d \] \[ h = d \]

2. Диаметр сферы и цилиндра
   Так как сфера вписана в цилиндр, сфера касается основания и крышки цилиндра только в одной точке каждой, следовательно, высота и диаметр цилиндра совпадают с диаметром сферы: \[ D_{\text{сферы}} = h = d \]

Таким образом, диаметр сферы совпадает с диаметром и высотой цилиндра.