Рассмотрим выражение:
[
\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{5} - 2}
]
Чтобы упростить это выражение, нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого применим процесс, известный как рационализация, который заключается в умножении числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение к (\sqrt{5} - 2) — это (\sqrt{5} + 2).
Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{5} + 2):
[
\frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}
]
Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:
[
(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
]
Итак, наш знаменатель теперь равен 1, поэтому весь знаменатель исчезает. Теперь упростим числитель:
[
(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{5} + 2) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot 2 - 2 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 2
]
Рассчитаем каждое из выражений отдельно:
- (\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10})
- (\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2})
- (-2 \cdot \sqrt{5} = -2\sqrt{5})
- (-2 \cdot 2 = -4)
Теперь сложим все вместе:
[
\sqrt{10} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 4
]
Итак, окончательное упрощенное выражение:
[
\sqrt{10} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 4
]
Это и есть результат упрощения данного выражения.
