Реши пожалуйста

Рассмотрим выражение:

\[ \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{5} - 2} \]

Чтобы упростить это выражение, нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого применим процесс, известный как рационализация, который заключается в умножении числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение к \(\sqrt{5} - 2\) — это \(\sqrt{5} + 2\).

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5} + 2\):

\[ \frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} \]

Теперь упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

\[ (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \]

Итак, наш знаменатель теперь равен 1, поэтому весь знаменатель исчезает. Теперь упростим числитель:

\[ (\sqrt{2} - 2)(\sqrt{5} + 2) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot 2 - 2 \cdot \sqrt{5} - 2 \cdot 2 \]

Рассчитаем каждое из выражений отдельно:

• \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}\)
• \(\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}\)
• \(-2 \cdot \sqrt{5} = -2\sqrt{5}\)
• \(-2 \cdot 2 = -4\)

Теперь сложим все вместе:

\[ \sqrt{10} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 4 \]

Итак, окончательное упрощенное выражение:

\[ \sqrt{10} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 4 \]

Это и есть результат упрощения данного выражения.