Решение

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\).
• Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(A\) и величина этого угла равна \(45^\circ\).
• Длина диагонали \(BD\) равна \(9\sqrt{2}\).

Нужно найти:

• Длину меньшего основания трапеции.

Решение:

1. Анализ условия:

   • Поскольку \(AC\) — биссектриса и \(\angle A = 45^\circ\), мы можем утверждать, что трапеция \(ABCD\) является равнобочной, и углы при основании \(AD\) одинаковые.

2. Построим треугольники:

   • Заметим, что \(ABCD\) — равнобочная трапеция с \(\angle DAB = \angle ABC = 45^\circ\).

3. Используем свойства треугольника:

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). Из теоремы о 45°-45°-90° треугольнике известно, что стороны соотносятся как \(1:1:\sqrt{2}\).

4. Вычислим стороны:

   • Если \(BD = 9\sqrt{2}\), то катеты \(AB\) и \(AD\) равны \(9\).

5. Заключение:

   • Основание \(AD\) равно \(9\), и ответ на задачу — длина меньшего основания трапеции \(AD = 9\).

Таким образом, длина меньшего основания трапеции \(AD\) равна \(9\).