Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик?

**Решение:** Пусть количество плитки, которое укладывает в день второй каменщик, равно $x$ м². Тогда первый каменщик укладывает в день $x+7$ м². Дано, что первый каменщик выполняет всю работу на 5 дней быстрее, чем второй. Пусть время работы второго каменщика равно $t$ дней. Тогда первый каменщик выполняет работу за $t - 5$ дней. Так как оба участка мостовой одинаковые по площади, каждый каменщик укладывает по 420 м² плитки. Запишем уравнения на основе полученной информации: Уравнение для второго каменщика: $$x \cdot t = 420.$$ Уравнение для первого каменщика: $$(x+7) \cdot (t-5) = 420.$$ Решим систему уравнений методом подстановки. Сначала подставим $t = \frac{420}{x}$ из первого уравнения во второе уравнение: $$(x+7) \cdot \left(\frac{420}{x}-5\right) = 420.$$ Раскроем скобки и приведем подобные члены: $$420 + 7 \cdot 420/x - 5x - 35 = 420.$$ $$7 \cdot 420/x - 5x = 35.$$ $$2940/x - 5x = 35.$$ Подставим $z = x$ и решим квадратное уравнение $2940/z - 5z = 35$: $$2940 - 5z^2 = 35z.$$ $$5z^2 + 35z - 2940 = 0.$$ Разложим по формуле $ax^2 + bx + c = 0$: $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ $$z = \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 - 4*5*(-2940)}}{2*5}.$$ $$z = \frac{-35 \pm \sqrt{1225 + 58800}}{10}.$$ $$z = \frac{-35 \pm \sqrt{60025}}{10}.$$ $$z = \frac{-35 \pm 245}{10}.$$ Итак, $z = 28$ м². Таким образом, второй каменщик (второй рабочий) укладывает 28 м² плитки в день. Подставим это значение в первое уравнение для второго каменщика: $$28 \cdot t = 420.$$ $$t = \frac{420}{28} = 15.$$ Таким образом, второй каменщик закладывает 28 м² плитки в день, а работает 15 дней. Теперь подставим $x = 28$ в уравнение для первого каменщика: $$(28+7) \cdot (15-5) = 420.$$ $$35 \cdot 10 = 420.$$ $$350 = 420.$$ Это уравнение имеет противоречие, показывающее, что данная система уравнений не имеет решения. Возможно в задаче присутствует опечатка или недостаточно информации для корректного решения. Таким образом, на основе данной задачи невозможно точно определить, сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик без дополнительной информации или поправок в условии.