Решите неравенство |x+1|+|x+3|≤8

Решим неравенство |x+1|+|x+3|≤8.

Для начала разберёмся с модулями. Если выражение внутри модуля положительное, то модуль равен этому выражению. Если выражение внутри модуля отрицательное, то модуль равен противоположному числу.

Рассмотрим два случая: x+1≥0 и x+1<0.

1. x+1≥0: Если x+1≥0, то модуль |x+1| равен выражению x+1. Аналогично, модуль |x+3| для этого случая равен выражению x+3. Таким образом, неравенство можно переписать как (x+1) + (x+3) ≤ 8.

Решим это уравнение: 2x + 4 ≤ 8, 2x ≤ 4, x ≤ 2.

Таким образом, при x≥-1 уравнение (x+1) + (x+3) ≤ 8 будет выполнено.

2. x+1<0: Если x+1<0, то модуль |x+1| равен противоположному числу, то есть -(x+1). Аналогично, модуль |x+3| для этого случая равен противоположному числу, то есть -(x+3). Таким образом, неравенство можно переписать как -(x+1) - (x+3) ≤ 8.

Решим это уравнение: -2x - 4 ≤ 8, -2x ≤ 12, x ≥ -6.

Таким образом, при x<-1 уравнение -(x+1) - (x+3) ≤ 8 будет выполнено.

Объединив оба случая, получим что решение неравенства |x+1| + |x+3| ≤ 8 это x≥-1 и x<-6.

Ответ: x≥-1 и x<-6.