x²-4x+4=(2x-7)²

Решение:

Дано уравнение:

\(x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2\)

Для начала раскроем квадрат в правой части уравнения:

\((2x - 7)^2 = (2x - 7)(2x - 7) = 4x^2 - 14x - 14x + 49 = 4x^2 - 28x + 49\)

Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение:

\(x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49\)

Развеем скобки и преобразуем уравнение:

\(x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49\)

\(x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49\)

\(0 = 4x^2 - 28x + 49 - x^2 + 4x - 4\)

\(0 = 3x^2 - 32x + 45\)

Теперь попробуем решить получившееся квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

Где \(a = 3, b = -32, c = 45\).

\(D = (-32)^2 - 4*3*45 = 1024 - 540 = 484\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня, которые находятся по формуле:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1 = \frac{32 + \sqrt{484}}{6} = \frac{32 + 22}{6} = \frac{54}{6} = 9\)

\(x_2 = \frac{32 - \sqrt{484}}{6} = \frac{32 - 22}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)

Таким образом, уравнение \(x^2 - 4x + 4 = (2x - 7)^2\) имеет два корня: \(x_1 = 9\) и \(x_2 = \frac{5}{3}\).