Реши

Чтобы решить задачу, нужно найти площадь поверхности правильной пирамиды, основанием которой является равносторонний треугольник.

Дано:

• Основание пирамиды — равносторонний треугольник с длиной стороны \( a = 24 \) см.
• Боковая грань — равносторонний треугольник.

Найти:

• Полная площадь поверхности пирамиды.

Решение:

1. Площадь основания \( S_{\text{осн}} \):

Основание — равносторонний треугольник, и его площадь \( S_{\text{осн}} \) вычисляется по формуле: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение \( a = 24 \) см: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 24^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 576 = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

2. Высота боковой грани и её площадь \( S_{\text{боковой}} \):

Боковая грань также равносторонний треугольник со стороной \( a = 24 \) см. Высота этого треугольника \( h \) вычисляется как: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] Высота для стороны \( a = 24 \) см: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 24 = 12\sqrt{3} \, \text{см} \]

Площадь боковой грани (одного треугольника): \[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 24 \times 12\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

3. Полная площадь боковых граней:

Поскольку пирамида имеет три боковые грани, которые являются равносторонними треугольниками: \[ S_{\text{боковые}} = 3 \times 144\sqrt{3} = 432\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

4. Полная площадь поверхности пирамиды:

\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{боковые}} = 144\sqrt{3} + 432\sqrt{3} = 576\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Ответ:

Полная площадь поверхности пирамиды составляет \( 576\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).