Правильный шестиугольник вписан в окружность. Известно, что периметр квадрата, описанного около этой окружности равен 20 см. Найдите радиус окружности. Найдите периметр правильного шестиугольника.

Для решения этой задачи мы можем применить знания о свойствах правильных многоугольников, окружностей и кругов. **Решение:** 1. *Найдем радиус окружности:* Квадрат описанный вокруг окружности имеет сторону, равную диагонали правильного шестиугольника. Радиус окружности равен половине диагонали квадрата. Пусть сторона квадрата равна а, то его диагональ равна d = a * √2. Так как периметр квадрата равен 20 см, то 4a = 20, следовательно a = 5. А диагональ d = 5 * √2. Радиус r = d/2 = 5 * √2 / 2 = 5√2 / 2 см. 2. *Найдем периметр правильного шестиугольника:* Правильный шестиугольник состоит из 6 равных сторон, и радиус окружности совпадает с его стороной. Периметр правильного шестиугольника равен 6 * сторона. Зная, что радиус равен 5√2 / 2 см, то периметр правильного шестиугольника равен 6 * (5√2 / 2) = 15√2 см. **Ответ:** 1. Радиус окружности: r = 5√2 / 2 см. 2. Периметр правильного шестиугольника: 15√2 см.