Реши задачу 135

Давайте разберем задачу 135. **Условие:** Определить, зависят ли события \( A \) и \( B \), где: - Событие \( A \) заключается в том, что произошло ровно одно из двух событий из трех возможных \((A_1, A_2, A_3)\). - Событие \( B \) заключается в том, что произошло один раз ровно одно из этих событий \((A_1, A_2, A_3)\). **Решение:** Чтобы выяснить, зависят ли события \( A \) и \( B \), нужно проверить, сохранилось ли равенство \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). 1. **События \( A_1, A_2, A_3 \):** Пусть все события \( A_1, A_2, A_3 \) равновероятны. 2. **Вероятность события \( A \):** Событие \( A \) означает, что ровно одно из событий происходит. Для трех событий это вероятности \( P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}), P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3}), P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3) \). Если все события независимы и имеют одинаковую вероятность \( p \), то это влечет: \[ P(A) = 3p(1-p)^2 \] 3. **Вероятность события \( B \):** Событие \( B \) предполагает, что одно из событий произошло ровно один раз, что на самом деле сходится с самой формулировкой события \( A \). Это аналогично событию \( A \). \[ P(B) = 3p(1-p)^2 \] 4. **Пересечение событий \( A \cap B \):** Так как события \( A \) и \( B \) означают одно и то же — одно событие из трех произошло, то: \[ P(A \cap B) = P(A) = P(B) \] 5. **Проверка независимости:** Теперь проверяем, выполняется ли условие независимости: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Подставляя значения, имеем: \[ 3p(1-p)^2 = \left(3p(1-p)^2\right)^2 \] Это уравнение верно только в некоторых специальных случаях, например при \( p = 0 \) или \( p = 1 \), когда вероятность какого-либо из изначальных событий тривиально приводит к вероятности перемещения других событий. Таким образом, события \( A \) и \( B \) в общем случае не могут быть независимыми. **Ответ:** События \( A \) и \( B \) являются зависимыми.