((15^x-3^(x+1)-5^(x+1)+15)*1/(-x^2+2*x))>=0

Для решения данного неравенства сначала необходимо найти все значения x, для которых выражение ((15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15) * 1/(-x^2 + 2x)) равно или больше нуля.

Для начала разберемся с знаменателем дроби. Нам нужно исследовать знак выражения x^2 - 2x. Преобразуем его к квадратному трехчлену:

x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1

Теперь, чтобы найти все значения x, для которых знаменатель не равен нулю, решим неравенство:

(x - 1)^2 - 1 ≠ 0

(x - 1)^2 ≠ 1

(x - 1) ≠ ±1

Следовательно, знаменатель не равен нулю при x ≠ 0, x ≠ 2.

Далее, для анализа знака числителя ((15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15)), разложим его на множители:

15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15 = 5^x * (3^x - 3 - 5*5^x + 1)

15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15 = 5^x * (3^x - 5*5^x - 2)

15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15 = 5^x * ((3^x - 15*5^(x-1)) - 2)

Теперь рассмотрим знак каждого множителя в числителе и основываясь на этом найдем области, где исходное выражение ((15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15) * 1/(-x^2 + 2x)) будет положительным.

1. При x < 0:

   • (3^x - 15*5^(x-1)) > 0, так как 5 > 3
   • Слагаемое -2 < 0
   • При x < 0: (3^x - 15*5^(x-1)) - 2 < 0
   • Следовательно, при x < 0 результат положителен.

2. При 0 < x < 1:

   • (3^x - 15*5^(x-1)) > 0
   • Слагаемое -2 < 0
   • (3^x - 15*5^(x-1)) - 2 > 0
   • Следовательно, при 0 < x < 1 результат отрицателен.

3. При 1 < x < 2:

   • (3^x - 15*5^(x-1)) < 0
   • Слагаемое -2 < 0
   • (3^x - 15*5^(x-1)) - 2 < 0
   • Следовательно, при 1 < x < 2 результат положителен.

4. При x > 2:

   • (3^x - 15*5^(x-1)) < 0
   • Слагаемое -2 < 0
   • (3^x - 15*5^(x-1)) - 2 < 0
   • Следовательно, при x > 2 результат отрицателен.

Итак, области, где исходное выражение ((15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15) * 1/(-x^2 + 2x)) будет положительным, это x < 0 и 1 < x < 2.