Шарик раскручивают на веревке длины l = 1 м так, что веревка находится под углом а = 45° к вертикали (верёвка описывает конус, шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости). Определить угловую скорость шарика. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Ответ дайте в рад/с, округлив до целых.

Дано: Длина веревки, \( l = 1 \, \text{м} \) Угол наклона веревки к вертикали, \( \alpha = 45^\circ \) Ускорение свободного падения, \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Используем следующие обозначения: \( \theta \) - угол поворота шарика вокруг вертикальной оси Угловая скорость \( \omega \) шарика во времени \( dt \) равна производной угла поворота по времени: \[ \omega = \dfrac{d\theta}{dt} \] Рассмотрим треугольник, образованный веревкой, радиусом окружности, по которой движется шарик, и вертикалью. Из этого треугольника можем найти радиус окружности: \[ r = l \cdot \sin{\alpha} = 1 \cdot \sin{45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, \text{м} \] На шарик действуют две силы: 1. Гравитационная сила \( F_{g} = mg \) направлена вниз 2. Натяжение веревки \( T \) Так как шарик движется по окружности, то он находится под действием центростремительной силы \( F_{c} = \dfrac{mv^2}{r} \), где \( v \) - линейная скорость шарика. Сумма всех сил по направлению, перпендикулярному веревке: \[ T\cos{\theta} = \dfrac{mv^2}{r} \] Сумма всех сил по вертикали: \[ T\sin{\theta} - mg = 0 \] Из уравнения баланса сил по вертикали находим значение натяжения веревки: \[ T\sin{\theta} = mg \] \[ T = \dfrac{mg}{\sin{\theta}} \] Подставляя значение \( T \) в уравнение баланса сил по направлению, перпендикулярному веревке: \[ \dfrac{mg}{\sin{\theta}}\cos{\theta} = \dfrac{mv^2}{r} \] \[ g\cot{\theta} = \dfrac{v^2}{r} \] \[ v = r\sqrt{g\cot{\theta}} \] Так как у шарика есть только угловая скорость \( \omega \), то \( v = r\omega \). \[ r\omega = r\sqrt{g\cot{\theta}} \] \[ \omega = \sqrt{g\cot{\theta}} \] \[ \omega = \sqrt{g\cot{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}} \] \[ \omega = \sqrt{10\cot{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}} \] \[ \omega \approx \sqrt{10 \cdot 2} \] \[ \omega \approx \sqrt{20} \] \[ \omega \approx 4.47 \, \text{рад/с} \] Ответ: Угловая скорость шарика равна приблизительно 4.47 рад/с (округлено до целых).