Шарик раскручивают на веревке длины l = 1 м так, что веревка находится под углом а = 45° к вертикали (верёвка описывает конус, шарик движется по окружности в горизонтальной…
Шарик раскручивают на веревке длины l = 1 м так, что веревка находится под углом а = 45° к вертикали (верёвка описывает конус, шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости). Определить угловую скорость шарика. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Ответ дайте в рад/с, округлив до целых.
Дано:
Длина веревки, \( l = 1 \, \text{м} \)
Угол наклона веревки к вертикали, \( \alpha = 45^\circ \)
Ускорение свободного падения, \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)
Используем следующие обозначения:
\( \theta \) - угол поворота шарика вокруг вертикальной оси
Угловая скорость \( \omega \) шарика во времени \( dt \) равна производной угла поворота по времени:
\[ \omega = \dfrac{d\theta}{dt} \]
Рассмотрим треугольник, образованный веревкой, радиусом окружности, по которой движется шарик, и вертикалью.
Из этого треугольника можем найти радиус окружности:
\[ r = l \cdot \sin{\alpha} = 1 \cdot \sin{45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, \text{м} \]
На шарик действуют две силы:
- Гравитационная сила \( F_{g} = mg \) направлена вниз
- Натяжение веревки \( T \)
Так как шарик движется по окружности, то он находится под действием центростремительной силы \( F_{c} = \dfrac{mv^2}{r} \), где \( v \) - линейная скорость шарика.
Сумма всех сил по направлению, перпендикулярному веревке:
\[ T\cos{\theta} = \dfrac{mv^2}{r} \]
Сумма всех сил по вертикали:
\[ T\sin{\theta} - mg = 0 \]
Из уравнения баланса сил по вертикали находим значение натяжения веревки:
\[ T\sin{\theta} = mg \]
\[ T = \dfrac{mg}{\sin{\theta}} \]
Подставляя значение \( T \) в уравнение баланса сил по направлению, перпендикулярному веревке:
\[ \dfrac{mg}{\sin{\theta}}\cos{\theta} = \dfrac{mv^2}{r} \]
\[ g\cot{\theta} = \dfrac{v^2}{r} \]
\[ v = r\sqrt{g\cot{\theta}} \]
Так как у шарика есть только угловая скорость \( \omega \), то \( v = r\omega \).
\[ r\omega = r\sqrt{g\cot{\theta}} \]
\[ \omega = \sqrt{g\cot{\theta}} \]
\[ \omega = \sqrt{g\cot{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}} \]
\[ \omega = \sqrt{10\cot{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}} \]
\[ \omega \approx \sqrt{10 \cdot 2} \]
\[ \omega \approx \sqrt{20} \]
\[ \omega \approx 4.47 \, \text{рад/с} \]
Ответ: Угловая скорость шарика равна приблизительно 4.47 рад/с (округлено до целых).
