реши
Для решения данного выражения применим метод рационализации и свойства действий с дробями.
Исходное выражение:
\[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{11}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \frac{\sqrt{10} + \sqrt{11}}{\sqrt{10} - \sqrt{11}} \]
Шаг 1: Преобразуем каждую дробь.
Для облегчения работы с дробями умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное выражение знаменателя. Это позволит избавиться от корней в знаменателе.
Первая дробь: \[ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{11}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{11}}{\sqrt{10} - \sqrt{11}} \]
Числитель: \((\sqrt{10} - \sqrt{11})^2 = 10 - 2\sqrt{10}\sqrt{11} + 11 = 21 - 2\sqrt{110}\)
Знаменатель: \((\sqrt{10})^2 - (\sqrt{11})^2 = 10 - 11 = -1\)
Следовательно, преобразованное выражение: \[ \frac{21 - 2\sqrt{110}}{-1} = -21 + 2\sqrt{110} \]
Вторая дробь: \[ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{11}}{\sqrt{10} - \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{11}}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} \]
Числитель: \((\sqrt{10} + \sqrt{11})^2 = 10 + 2\sqrt{10}\sqrt{11} + 11 = 21 + 2\sqrt{110}\)
Знаменатель: \((\sqrt{10})^2 - (\sqrt{11})^2 = 10 - 11 = -1\)
Следовательно, преобразованное выражение: \[ \frac{21 + 2\sqrt{110}}{-1} = -21 - 2\sqrt{110} \]
Шаг 2: Сложим преобразованные дроби.
Теперь сложим полученные выражения:
\[ (-21 + 2\sqrt{110}) + (-21 - 2\sqrt{110}) = -21 - 21 + 2\sqrt{110} - 2\sqrt{110} = -42 \]
Таким образом, значение данного выражения равно \(-42\).
