Найдите наименьшее значение функции y = e ^ (2x) - 10e ^ x + 25 на отрезке [-1;4]
Для нахождения наименьшего значения функции \( y = e^{2x} - 10e^x + 25 \) на отрезке [-1;4] необходимо использовать метод дифференцирования и анализа точек экстремума.
Шаг 1: Найдем производную данной функции. \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(10e^x) \] \[ y' = 2e^{2x} - 10e^x \]
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение. \[ 2e^{2x} - 10e^x = 0 \] \[ 2e^x(e^x - 5) = 0 \]
Это уравнение даст два значения x: \( x = 0 \) и \( x = \ln(5) \approx 1.609 \).
Шаг 3: Для анализа экстремумов используем тест на точки экстремума.
- Проверим значение производной в окрестностях \( x = -1, x = 0, x = 1.609 \) и \( x = 4 \).
- При \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 2e^{-2} - 10e^{-1} \approx 4.12 \]
- При \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2e^0 - 10e^0 = 2 - 10 = -8 \]
- При \( x = 1.609 \): \[ y'(1.609) = 2e^{1.609} - 10e^{1.609} \approx -8 \]
- При \( x = 4 \): \[ y'(4) = 2e^8 - 10e^4 > 0 \]
Из этого анализа видно, что \( x = 0 \) и \( x = 1.609 \) являются точками экстремума. Поскольку \( x = 0 \) дал отрицательное значение производной, это является минимумом.
Шаг 4: Найдем значение функции в найденной точке минимума. \[ y(0) = e^{2*0} - 10e^0 + 25 = 1 - 10 + 25 = 16 \]
Итак, наименьшее значение функции \( y = e^{2x} - 10e^x + 25 \) на отрезке [-1;4] равно 16 при \( x = 0 \).
