в треугольнике ABC угол C=90°, AC=9,BC=3√7. Найдите косинус внешнего угла при вершине А

Для решения данной задачи о косинусе внешнего угла при вершине \( A \) в треугольнике \( ABC \) с углом \( C = 90^{\circ} \) и сторонами \( AC = 9 \) и \( BC = 3\sqrt{7} \) используем теорему косинусов.

Из теоремы косинусов мы знаем, что \( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \), где \( a, b, c \) соответственно являются длинами сторон, противолежащими углам \( A, B, C \).

1. Итак, у нас дано:

   • \( AC = 9 \) (сторона, противолежащая углу \( A \))
   • \( BC = 3\sqrt{7} \) (сторона, противолежащая углу \( B \))

2. Теперь нужно найти сторону \( AB \), противолежащую прямому углу \( C \). Используем теорему Пифагора:
   \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{7})^2} = \sqrt{81 + 63} = \sqrt{144} = 12 \)

3. Подставляем полученные значения в формулу для косинуса угла \( A \): \( \cos(A) = \frac{(3\sqrt{7})^2 + 12^2 - 9^2}{2 \cdot 3\sqrt{7} \cdot 12} = \frac{63 + 144 - 81}{72\sqrt{7}} = \frac{126}{72\sqrt{7}} = \frac{7}{4\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{28} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)

Итак, косинус внешнего угла при вершине \( A \) в данном треугольнике равен \( \frac{\sqrt{7}}{4} \).