Для решения этой задачи нам нужно использовать систему уравнений, чтобы найти число шаров каждого цвета в каждом ящике. Пусть ( a ), ( b ), и ( c ) обозначают количество красных, синих и белых шаров соответственно в любом конкретном ящике.
Мы знаем, что количество синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. Значит, сумма белых шаров в ( a + b + c ) ящиках без участия этого ящика равна суммарному числу синих шаров в этом ящике, то есть ( ab ).
Аналогично, количество белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров в остальных ящиках. Поэтому сумма красных шаров в ( a + b + c ) ящиках без участия этого ящика равна суммарному числу белых шаров в этом ящике, то есть ( ac ).
Теперь мы можем записать систему уравнений на основе условий задачи:
- ( b = ac )
- ( c = ab )
Заметим, что умножая обе части уравнения 1 на ( b ) и уравнения 2 на ( c ), получим:
- ( ab = bc )
- ( ac = bc )
Поскольку ( b \neq 0 ) (иначе все ящики будут пустыми), можно поделить уравнение 1 на ( b ) и уравнение 2 на ( c ), что даст:
- ( a = c )
- ( a = b )
Теперь мы знаем, что в каждом ящике одинаковое количество красных, синих и белых шаров. Поэтому суммарное количество шаров во всех ящиках равно ( 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c) ). Из условия задачи также известно, что это количество четное и меньше 1007.
Так как ( a = b = c ), мы можем обозначить это общее количество как ( 3x ), где ( x ) — количество шаров одного цвета в одном ящике.
Таким образом, нам нужно найти такое наименьшее целое число ( x ), что удовлетворяет условиям ( 3x < 1007 ) и ( 3x ) четное.
Перебираем четные числа, начиная с 2, которые меньше 1007:
- ( 3 \cdot 2 = 6 ) — удовлетворяет условиям
- ( 3 \cdot 4 = 12 ) — удовлетворяет условиям
Следовательно, наименьшее общее количество шаров в ящиках равно 12.
