4x²+12x+9=(x-4)²

Решение:

Дано уравнение: \(4x^2 + 12x + 9 = (x-4)^2\)

Для начала раскроем квадрат в правой части уравнения:

\((x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\)

Теперь у нас есть уравнение: \(4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16\)

Проведем всех члены уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения:

\(4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0\)

\(3x^2 + 20x - 7 = 0\)

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где у нас коэффициенты \(a = 3\), \(b = 20\), и \(c = -7\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (20)^2 - 4 * 3 * (-7)\] \[D = 400 + 84\] \[D = 484\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у уравнения есть два действительных корня. Корни квадратного уравнения с положительным дискриминантом находятся по формулам:

\[x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\] и \[x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения и находим корни:

\[x_1 = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2*3} = \frac{-20 + 22}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

\[x_2 = \frac{-20 - 22}{2*3} = \frac{-42}{6} = -7\]

Таким образом, корни уравнения \(3x^2 + 20x - 7 = 0\) равны: \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -7\).