Найдите точку минимума функции у= х^3+14х^2+49х+8

Решение:

Для нахождения точки минимума функции нужно использовать производные.

1. Найдем производную данной функции y = x^3 + 14x^2 + 49x + 8.

   • y' = 3x^2 + 28x + 49.

2. Теперь найдем точку, где производная равна нулю, так как точка минимума функции находится в точке экстремума (где производная равна нулю).

   • 3x^2 + 28x + 49 = 0.

3. Решим квадратное уравнение 3x^2 + 28x + 49 = 0.

   • Для удобства, это уравнение можно упростить, поделив все на 3:
   • x^2 + (28/3)x + 49/3 = 0.

4. Сначала найдем дискриминант D = b^2 - 4ac:

   • D = (28/3)^2 - 4 * 1 * 49/3 = 784/9 - 196/3 = 784/9 - 588/9 = 196/9.

5. Так как D > 0, у уравнения есть два корня:

   • x = (-b ± √D) / 2a,
   • x = (-(28/3) ± √(196/9)) / 2,
   • x = (-28/3 ± 14/3) / 2,
   • x = (-14/3 ± 4 2/3).

6. Теперь найдем значение точки минимума подставив найденные значения x в исходную функцию y = x^3 + 14x^2 + 49x + 8.

Таким образом, решив квадратное уравнение и подставив корни в исходную функцию, мы найдем координаты точки минимума функции у= x^3 + 14x^2 + 49x + 8.