Цель: Понять.
Из условия задачи мы знаем, что воздух находится в сосуде, а шарик лежит на дне. Для того чтобы шарик поднялся наверх, нам нужно создать давление, достаточное для его подъема. Для решения этой задачи мы воспользуемся уравнением состояния идеального газа, которое для молярного объема $V$, молярной массы $m$, температуры $T$ и давления $P$ выглядит следующим образом: $P V = n R T$, где $R$ - универсальная газовая постоянная.
Начнем с расчета объема шарика. Объем шарика можно найти по формуле для объема шарового слоя: $V = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 - r_2^3)$, где $r_1$ - радиус медного шарика, $r_2 = 0$ (так как шар полый).
- Расчет объема шарика:
- $r_1 = 3 , \text{см} = 0.03 , \text{м}$ (переводим в метры)
- $V = \frac{4}{3} \pi ((0.03)^3 - 0) \approx 1.13 \times 10^{-4} , \text{м}^3$
Теперь найдем количество воздуха в сосуде, которое равно количеству воздуха, занимающего весь объем сосуда после сжатия.
- Расчет количества воздуха:
- $n = \frac{m}{M}$, где $m = 0.004 , \text{кг}$ - масса шарика, $M = 0.029 , \text{кг/(моль К)}$ - молярная масса воздуха
- $n = \frac{0.004}{0.029} \approx 0.138 , \text{моль}$
Теперь мы можем найти начальное давление воздуха в сосуде.
- Расчет начального давления воздуха:
- $P_1 V = n R T \Rightarrow P_1 = \frac{n R T}{V}$
- Подставляем значения: $P_1 = \frac{0.138 \times 8.31 \times (27 + 273)}{1.13 \times 10^{-4}} \approx 2.487 \times 10^5 , \text{Па}$
Для того чтобы шарик поднялся, нужно создать дополнительное давление. При поднятии равновесие давлений должно быть: $P_{\text{воздуха}} + P_{\text{доп}} = P_{\text{архимеда}}$.
Учитывая, что $P_{\text{архимеда}} = \rho g V_{\text{шар}}$, где $\rho$ - плотность воздуха, $g$ - ускорение свободного падения, $V_{\text{шар}}$ - объем шарика, найдем давление, которое необходимо создать:
- Расчет давления для подъема шарика:
- $P_{\text{доп}} = \rho g V_{\text{шар}} - P_1$
- $\rho = \frac{m_{\text{воздуха}}}{V}$, где $m_{\text{воздуха}} = nM$
- $P_{\text{доп}} = \frac{nM}{V} g V_{\text{шар}} - P_1$
Подставляем известные значения:
- $V_{\text{шар}} \approx 1.13 \times 10^{-4} , \text{м}^3$
- $g = 9.81 , \text{м/с}^2$
- $M = 0.029 , \text{кг/(моль К)}$
- Расчет конечного давления:
- $P_{\text{доп}} = \frac{0.138 \times 0.029}{1.13 \times 10^{-4}} \times 9.81 \times 1.13 \times 10^{-4} - 2.487 \times 10^5 \approx 2.11 \times 10^5 , \text{Па}$
Наконец, ответ выразим в Мегапаскалях, округлим до одного значащего знака и переведем в МПа:
- $P_{\text{доп}} = 0.211 , \text{МПа}$
Таким образом, для поднятия медного шарика наверх необходимо создать давление около 0.211 МПа.
