Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике:
[ R = \frac{a}{2 \cdot \sin A} ]
где ( R ) - радиус описанной окружности, ( a ) - сторона треугольника, ( A ) - противолежащий этой стороне угол.
В данной задаче у нас имеется треугольник с углом ( C = 120^\circ ), следовательно, угол противолежащий стороне ( AB ) равен ( A = 60^\circ ).
Также, дано, что сторона ( AB = \frac{22}{3} ).
Теперь можем подставить данные в формулу:
[ R = \frac{\frac{22}{3}}{2 \cdot \sin 60^\circ} ]
[ R = \frac{\frac{22}{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} ] (так как (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}))
[ R = \frac{\frac{22}{3}}{\sqrt{3}} ]
[ R = \frac{22}{3 \cdot \sqrt{3}} ]
Упростим ответ, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):
[ R = \frac{22 \cdot \sqrt{3}}{9} ]
[ R = \frac{22 \cdot \sqrt{3}}{9} = \frac{22 \cdot \sqrt{3} \div 3}{9 \div 3} ]
[ R = \frac{22 \cdot \sqrt{3} / 3}{3} ]
[ R = \frac{22\sqrt{3}}{3} ]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен ( \frac{22\sqrt{3}}{3} ).
