Реши

Чтобы найти площадь треугольника \( \triangle AND \), следуем следующим шагам:

1. Анализ условия задачи:

   • Дано, что \( AB \parallel CD \) в параллелограмме \( ABCD \).
   • Даны точки \( M \) и \( N \) на \( AB \) и \( BC \), такие что \( AM : MB = 1 : 2 \) и \( BN : NC = 1 : 2 \).
   • Площадь параллелограмма \( ABCD = 64 \).

2. Построение модели задачи:

   • Поскольку точки делят стороны в указанном отношении, мы можем считать, что длина \( AM = \frac{1}{3} AB \), а \( MB = \frac{2}{3} AB \).
   • Аналогично, \( BN = \frac{1}{3} BC \) и \( NC = \frac{2}{3} BC \).

3. Используем свойства параллелограммов:

   • Площадь параллелограмма может быть выражена через его стороны и высоту, или, поскольку \( AB \parallel CD \), значение \( ABCD \) также равно произведению основания и высоты, что нам в дальнейшем поможет.

4. Поиск площади треугольников:

   • Сначала найдем площадь треугольника \( \triangle ABN \).
   • Поскольку отношение сторон и высот одинаково по отношению к параллелограмму, площадь \( \triangle ABN = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 64 = \frac{64}{9} \).

5. Площадь треугольника \( \triangle AND \):

   • Треугольник \( \triangle AND \) подобен \( \triangle ABN \), поскольку \( N \) и \( D \) делят стороны \( BC \) и \( DC \) в одинаковых отношениях.
   • Соответственно, площадь будет равна площади \( \triangle ABN \).

Опять же, в случае треугольника \( AND \), так как он подобен \( \triangle ABN \), тогда площадь \( \triangle AND = \frac{64}{9} \).

Таким образом, площадь треугольника \( \triangle AND \) равна \( \frac{64}{9} \) квадратных единиц.