реши

Для решения определенного интеграла

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \]

следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти неопределенный интеграл

Вначале найдем неопределенный интеграл функции \(\sin(x)\). Известно, что интеграл \(\sin(x)\) равен:

\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]

где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Применить пределы интегрирования

Теперь применим пределы интегрирования от 0 до \(\frac{\pi}{2}\):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]

Это можно записать как:

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos(0)\right) \]

Шаг 3: Вычислить

Теперь подставим значения:

• \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
• \(\cos(0) = 1\)

Подставив эти значения, получаем:

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1 \]

Ответ

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = 1 \]

Таким образом, определенный интеграл равен 1.