Для решения определенного интеграла
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) , dx
]
следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти неопределенный интеграл
Вначале найдем неопределенный интеграл функции (\sin(x)). Известно, что интеграл (\sin(x)) равен:
[
\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C
]
где (C) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Применить пределы интегрирования
Теперь применим пределы интегрирования от 0 до (\frac{\pi}{2}):
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) , dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}
]
Это можно записать как:
[
-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos(0)\right)
]
Шаг 3: Вычислить
Теперь подставим значения:
- (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0)
- (\cos(0) = 1)
Подставив эти значения, получаем:
[
-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1
]
Ответ
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) , dx = 1
]
Таким образом, определенный интеграл равен 1.
