В классе 16 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 12 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Данная задача относится к комбинаторике и является задачей на нахождение числа сочетаний.

Цель: Понять

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для числа сочетаний из n элементов по k элементов:

\[C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где:

• \(n\) - общее количество элементов (16 учеников в классе)
• \(k\) - количество элементов, которое мы выбираем (12 учеников для эстафеты)
• \(n!\) - факториал числа \(n\), то есть произведение всех целых чисел от 1 до \(n\)

Подставим значения в формулу:

\[C(16,12) = \frac{16!}{12!(16-12)!}\]

Вычислим факториалы:

\[16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!\] \[12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\] \[4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Подставим в формулу:

\[C(16,12) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\] \[C(16,12) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4!}\] \[C(16,12) = \frac{1820}{24} = 76\]

Таким образом, классный руководитель может выбрать 12 учеников для участия в школьной эстафете 76 различными способами.