Дано:
- Периметр прямоугольника = 24 см
- Сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах = 148 см²
Пусть длина прямоугольника будет a см, а ширина b см.
Таким образом, периметр прямоугольника равен:
(2a + 2b = 24) (1)
А сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах:
(a^2 + b^2 = 148) (2)
Мы имеем систему уравнений, которую нужно решить.
Решение:
Из уравнения (1) выразим a через b:
(a = 12 - b) (3)
Подставим выражение для a из уравнения (3) в уравнение (2):
((12 - b)^2 + b^2 = 148)
(144 - 24b + b^2 + b^2 = 148)
(2b^2 - 24b - 4 = 0)
Решим квадратное уравнение:
(b^2 - 12b - 2 = 0)
(b = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2})
(b = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 8}}{2})
(b = \frac{12 \pm \sqrt{152}}{2})
Итак, получаем два возможных значения для b:
(b_1 = \frac{12 + \sqrt{152}}{2})
(b_2 = \frac{12 - \sqrt{152}}{2})
Теперь найдем соответствующие значения для a, используя уравнение (3).
Для (b_1):
(b_1 = \frac{12 + \sqrt{152}}{2})
(b_1 = \frac{12 + 2\sqrt{38}}{2})
(b_1 = 6 + \sqrt{38})
(a_1 = 12 - b_1)
(a_1 = 12 - (6 + \sqrt{38}))
(a_1 = 6 - \sqrt{38})
Для (b_2):
(b_2 = \frac{12 - \sqrt{152}}{2})
(b_2 = \frac{12 - 2\sqrt{38}}{2})
(b_2 = 6 - \sqrt{38})
(a_2 = 12 - b_2)
(a_2 = 12 - (6 - \sqrt{38}))
(a_2 = 6 + \sqrt{38})
Итак, стороны прямоугольника равны:
(a_1 = 6 - \sqrt{38}) см, (b_1 = 6 + \sqrt{38}) см
или
(a_2 = 6 + \sqrt{38}) см, (b_2 = 6 - \sqrt{38}) см.
Таким образом, найдены две пары значений для сторон прямоугольника.
