В 1. В треугольнике MNK угол N равен 69°, а углы М и К - острые. МРи КЕ - высоты, пересекающиеся в точке Р (см. рис. 130). Найдите утол РЕ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Для решения данной задачи о характеристиках треугольника MNK воспользуемся свойствами высот треугольника.

1. Из условия задачи дано, что угол N равен 69°, и углы М и К - острые.
2. Поскольку МР и КЕ - высоты треугольника, то треугольник МNK разбивается на четыре правильных треугольника.
3. Так как углы М и К - острые, то каждая высота делит основание треугольника на две части в пропорции, задаваемой соответствующими сторонами треугольника.
4. Поэтому РЕ является высотой для треугольника МЕК и треугольника МРК.
5. Теперь рассмотрим треугольник МРК. У него угол в вершине в точке R будет прямым, так как высоты треугольника пересекаются в одной точке.
6. Из этого следует, что треугольник МРК - прямоугольный треугольник с прямым углом в точке R.
7. Теперь если NKR = x, то РМК = 69° - х, а МРС = х в треугольнике МРК.
8. Отсюда МРС = РЕК = 90° - 69° = 21°.

Таким образом, угол РЕК равен 21°.
Ответ: угол РЕК равен 21 градус.