a)Решите уравнение sin2x+2cos²x+cos2x=0 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -9пи/2 ; -3пи ]

Цель: Понять

Решение:

a) Данное уравнение выглядит следующим образом: \(sin^2x + 2cos^2x + cos2x = 0\)

Для решения уравнения воспользуемся формулой двойного угла \(cos2x = 1 - 2sin^2x\) и тригонометрическим тождеством \(sin^2x + cos^2x = 1\).

Подставим \(cos2x\) через \(sin^2x\): \(sin^2x + 2cos^2x + 1 - 2sin^2x = 0\)

Упростим: \(-sin^2x + 2cos^2x + 1 = 0\)

Теперь заменим \(-sin^2x\) на \(cos^2x\) с помощью основного тригонометрического тождества: \(cos^2x + 2cos^2x + 1 = 0\)

Сгруппируем по \(cos^2x\): \(3cos^2x + 1 = 0\)

Таким образом, мы получили квадратное уравнение, которое решается по стандартной схеме для квадратных уравнений.

\(b = 3, a = 1, c = 0\)

\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*3*1 = 9 - 12 = -3\)

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

b) Для указания корней уравнения на отрезке \([-9\pi/2; -3\pi]\), давайте сначала найдём все корни уравнения на данном отрезке.

Найдем общее решение уравнения \(cos^2x + 2cos^2x + 1 = 0\). Заметим, что это уравнение у нас получилось в квадратном виде, и его корни:

\(cosx = \pm i\)

Соответственно, уравнение имеет комплексные корни. Отрезок \([-9\pi/2; -3\pi]\) включает в себя не только действительные числа, поэтому для данного уравнения с действительными корнями на этом отрезке корней нет.