Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг• °С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Решение:
- Пусть \( m_1 \) - масса чая, \( m_2 \) - масса добавленной воды, \( T_1 = 100 °C \) - начальная температура чая, \( T_2 = 10 °C \) - температура добавленной воды, \( T_f = 90 °C \) - температура равновесия.
Для чая потеря теплоты будет \( Q_1 = m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) \), где \( c = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} \) - удельная теплоемкость.
Для воды поток теплоты будет \( Q_2 = m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) \) (в процессе охлаждения).
Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой: \[ \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f)}{m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2)} \]
Учитывая, что удельные теплоемкости чая и воды одинаковы, их можно сократить: \[ \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{m_1 \cdot (T_1 - T_f)}{m_2 \cdot (T_f - T_2)} \]
- Найдем отношение массы чая к массе долитой воды: \[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{(T_f - T_2)}{(T_1 - T_f)} = \frac{(90-10)}{(100-90)} = \frac{80}{10} = 8 \]
Отношение массы чая к массе воды равно 8.
- Когда Маша добавила в чай вторую порцию холодной воды, образовалось две части воды с равными температурами \( T_f = 90 °C \), поэтому для каждой части применяется та же формула:
\[ Q_1 = m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) \]
\[ Q_2 = m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) \]
Суммарный поток теплоты при втором охлаждении равен нулю (суммарное тепло не создается и не исчезает):
\[ Q_1 + Q_2 + Q_1 + Q_2 = 0 \]
\[ m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) + m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) = 0 \]
\[ m_1 \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot (T_f - T_2) + m_1 \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot (T_f - T_2) = 0 \]
\[ m_1 \cdot 2 \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot 2 \cdot (T_f - T_2) = 0 \]
\[ 2(m_1 \cdot (T_1 - T_f) + m_2 \cdot (T_f - T_2)) = 0 \]
\[ 2(0) = 0 \]
Раскрыв скобки и зная, что \( m_1 = 8m_2 \), получим:
\[ 2(8m_2 \cdot (100 - 90) + m_2 \cdot (90 - 10)) = 0 \]
\[ 2(80m_2 + 80m_2) = 0 \]
\[ 160m_2 = -160m_2 \]
\[ m_2 = -m_2 \]
Получаем, что масса долитой воды равна массе воды, которая изначально находилась в чашке.
Таким образом, температура чая после добавления второй порции воды такая же, как и изначальная температура добавленной воды \( T_2 = 10 °C \).
