Задача 9

Давайте решим задачу по тригонометрии.

Дано:

• В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(\tan A = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).
• Нужно найти длину стороны \(AC\).

Шаг 1: Понимание задачи

Поскольку \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AB\). Нам дан \(\tan A\), что позволяет использовать тригонометрические функции для решения задачи.

Шаг 2: Работа с \(\tan A\)

Из свойств прямоугольного треугольника \(\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\).

Для нахождения длины \(AC = BC\), нам нужно сначала найти соотношения катетов и гипотенузы в треугольнике, используя свойства угла \(A\).

Шаг 3: Найдем длину \(AC\)

Предположим, что \(x\) — это длина основания \(AB\) треугольника \(ABC\). Поскольку это равнобедренный треугольник, две другие стороны \(AC\) и \(BC\) равны. Их можно представить как гипотенузы в треугольнике со сторонами:

• Прилежащий катет (к \(A\)) = \(\frac{x}{2}\)
• Противолежащий катет (к \(A\)) = \(h\) (высота из точки \(A\) на основание \(BC\))

Используя \(\tan A = \frac{2\sqrt{3}}{3}\), можно записать:

\[ \tan A = \frac{h}{\frac{x}{2}} = \frac{2h}{x} \]

Итак, у нас:

\[ \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2h}{x} \]

Откуда:

\[ h = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3} \]

Для нахождения \(x\), записанное ранее тождество преобразуем с использованием \(AB = 18\):

\[ x = 18 \]

Шаг 4: Результат

Найдём \(h\) и затем \(AC\) с помощью Пифагоровой теоремы:

\[ x = 18, \quad h = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \]

Oчищенная гипотенуза:

\[ AC^2 = \left( \frac{18}{2} \right)^2 + (6\sqrt{3})^2 \]

\[ AC^2 = 9^2 + (6\sqrt{3})^2 = 81 + 108 = 189 \]

\[ AC = \sqrt{189} = 9\sqrt{3} \]

Ответ

Длина стороны \(AC = 9\sqrt{3}\).