Задача 9

Давайте решим задачу по тригонометрии. Дано: - В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(\tan A = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). - Нужно найти длину стороны \(AC\). ### Шаг 1: Понимание задачи Поскольку \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AB\). Нам дан \(\tan A\), что позволяет использовать тригонометрические функции для решения задачи. ### Шаг 2: Работа с \(\tan A\) Из свойств прямоугольного треугольника \(\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\). Для нахождения длины \(AC = BC\), нам нужно сначала найти соотношения катетов и гипотенузы в треугольнике, используя свойства угла \(A\). ### Шаг 3: Найдем длину \(AC\) Предположим, что \(x\) — это длина основания \(AB\) треугольника \(ABC\). Поскольку это равнобедренный треугольник, две другие стороны \(AC\) и \(BC\) равны. Их можно представить как гипотенузы в треугольнике со сторонами: - Прилежащий катет (к \(A\)) = \(\frac{x}{2}\) - Противолежащий катет (к \(A\)) = \(h\) (высота из точки \(A\) на основание \(BC\)) Используя \(\tan A = \frac{2\sqrt{3}}{3}\), можно записать: \[ \tan A = \frac{h}{\frac{x}{2}} = \frac{2h}{x} \] Итак, у нас: \[ \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2h}{x} \] Откуда: \[ h = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{3} \] Для нахождения \(x\), записанное ранее тождество преобразуем с использованием \(AB = 18\): \[ x = 18 \] ### Шаг 4: Результат Найдём \(h\) и затем \(AC\) с помощью Пифагоровой теоремы: \[ x = 18, \quad h = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \] Oчищенная гипотенуза: \[ AC^2 = \left( \frac{18}{2} \right)^2 + (6\sqrt{3})^2 \] \[ AC^2 = 9^2 + (6\sqrt{3})^2 = 81 + 108 = 189 \] \[ AC = \sqrt{189} = 9\sqrt{3} \] ### Ответ Длина стороны \(AC = 9\sqrt{3}\).