5. Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между…

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

   • Это утверждение соответствует Теореме косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\), где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(C\) - угол между сторонами длиной \(a\) и \(b\). Таким образом, данное утверждение верно.

2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

   • Это утверждение неверно. Пропорциональность сторон треугольника зависит от углов, а не от синусов углов.

3. Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

   • Это утверждение соответствует Пифагоровой теореме: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза. Подставляя значения \(5\) и \(12\), получаем \(5^2 + 12^2 = c^2\), что действительно равняется \(13^2 = 169\). Таким образом, данное утверждение верно.

4. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

   • Это утверждение неверно. Интуитивно оно похоже на Теорему косинусов, но в данном случае утверждение о косинусе заменено на утверждение о синусе, что неверно.

Итак, верными утверждениями являются:

1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
2. Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

Таким образом, правильные утверждения имеют номера 1 и 3.