Решить

Чтобы решить заданную задачу, сначала разберем её по шагам:

1. Функция: \( f(x) = \frac{8}{x+2} - 4 \).

Построение графика функции:

Функция представляет собой модифицированную гиперболу. Исходная функция \( g(x) = \frac{8}{x+2} \) - гипербола, трансформированная следующим образом:

• Горизонтальное смещение: \( x \) заменяется на \( x+2 \), что сдвигает гиперболу на 2 единицы влево.
• Вертикальное смещение: На 4 единицы вниз из-за вычитания 4.

Ассимптоты:

• Вертикальная асимптота: \( x = -2 \). Это место, где знаменатель обращается в ноль.
• Горизонтальная асимптота: \( y = -4 \).

Общее поведение:

• При \( x \to -2^- \) (справа от \(-2\)), \( f(x) \to -\infty \).
• При \( x \to -2^+ \) (слева от \(-2\)), \( f(x) \to +\infty \).
• При \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to -4 \).

Построение графика:

• Нарисуйте вертикальную асимптоту на \( x = -2 \).
• Нарисуйте горизонтальную асимптоту на \( y = -4 \).
• График пройдет через точки, где \( y = 0 \) при подходящем \( x \).

Решение уравнения \( f(x) = 0 \):

1. Уравнение: \[ \frac{8}{x+2} - 4 = 0 \]

2. Приведение к общему знаменателю: \[ \frac{8}{x+2} = 4 \]

3. Умножение обеих частей на \( x+2 \): \[ 8 = 4(x+2) \]

4. Раскрытие скобок: \[ 8 = 4x + 8 \]

5. Решение уравнения: \[ 0 = 4x \implies x = 0 \]

Таким образом, при \( x = 0 \) значение функции становится нулем, т.е. \( x = 0 \) - это корень функции.

Ответ:

• Построение графика: См. выше для этапов построения и ключевых точек.
• Корни уравнения: \( x = 0 \).