В поступившей партии швейных машинок из 30 штук имеются 10 с дефектом. Какова вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта?

Решение:

Для решения данной задачи используем понятие вероятности.

Общее количество возможных способов выбора 5 машинок из 30 равно числу сочетаний из 30 по 5, обозначается как \(C(30, 5)\) и равно \(\frac{30!}{5!(30-5)!}\).

Теперь посчитаем количество способов выбора 3 машинок без дефекта из 20 недефектных. Это число равно числу сочетаний из 20 по 3, обозначается как \(C(20, 3)\) и равно \(\frac{20!}{3!(20-3)!}\).

Также посчитаем количество способов выбора 2 машинок с дефектом из 10 дефектных. Это число равно числу сочетаний из 10 по 2, обозначается как \(C(10, 2)\) и равно \(\frac{10!}{2!(10-2)!}\).

Вероятность выбрать 3 машинки из 5 взятых без дефекта будет равна отношению числа способов выбора 3 машинок без дефекта к общему числу способов выбора 5 машинок:

\[P = \frac{C(20, 3) \cdot C(10, 2)}{C(30, 5)}\]

Подставляя значения, получаем:

\[P = \frac{\frac{20!}{3!17!} \cdot \frac{10!}{2!8!}}{\frac{30!}{5!25!}}\] \[P = \frac{1140 \cdot 45}{142506}$ \]

P = \frac{51300}{142506}$$

\[P ≈ 0.3597\]

Таким образом, вероятность того, что в партии из 5 машинок, взятых наугад, 3 будут без дефекта, составляет около 0.3597 или примерно 36%.