3cos²(x-(3п/2))-cos2x=0
Для решения уравнения \(3\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) - \cos(2x) = 0\) нужно использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давай разберемся:
Преобразование уравнения: \(\cos(2x)\) можно представить через тригонометрические тождества: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). Подставим это выражение в исходное уравнение: \[3\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) - (2\cos^2(x) - 1) = 0\]
Далее выполним замены: Пусть \(y = x - \frac{3\pi}{2}\), тогда: \[3\cos^2(y) - 2\cos^2\left(y + \frac{3\pi}{2}\right) - 1 = 0\] Воспользуемся свойством \(\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)\): \[3\cos^2(y) - 2\sin^2(y) - 1 = 0\]
Приведем уравнение к виду: Пользуясь тождеством \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\), у нас получится: \[3(1 - \sin^2(y)) - 2\sin^2(y) - 1 = 0\] \[3 - 3\sin^2(y) - 2\sin^2(y) - 1 = 0\] \[2\sin^2(y) = 2\] \[\sin^2(y) = 1\] \[\sin(y) = \pm 1\]
Теперь решим для \(y\): Когда \(\sin(y) = 1\), \(y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число. Когда \(\sin(y) = -1\), \(y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.
Возвращаемся к \(x\): Вспоминаем нашу замену: \(y = x - \frac{3\pi}{2}\) Подставляем \(y\): [x - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n) или \(x - \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\) Таким образом, решения для \(x\) будут:
- \(x = \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число,
- \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.
Итак: Решение уравнения \(3\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) - \cos(2x) = 0\) для всех целых чисел \(n\) описывается формулой \(x = \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\) и \(x = \pi + 2\pi n\).
