Для решения данной задачи используется формула для расчета количества оставшихся атомов радиоактивного вещества после определенного количества периодов полураспада:
[ N = N_0 \times (1 - \frac{1}{2})^n ]
Где:
- ( N ) - количество оставшихся атомов после ( n ) периодов полураспада
- ( N_0 ) - начальное количество атомов
- ( \frac{1}{2} ) - вероятность распада атома за один период полураспада (50%)
- ( n ) - количество периодов полураспада
Дано, что период полураспада изотопа равен 5 годам. Это означает, что за один период полураспада будет распадаться половина атомов изначального количества.
Пусть ( N_0 ) - изначальное количество атомов.
После одного периода полураспада останется ( N_1 = N_0 \times \frac{1}{2} ) атомов.
После двух периодов полураспада останется ( N_2 = N_1 \times \frac{1}{2} = N_0 \times (\frac{1}{2})^2 ) атомов.
И так далее.
Мы ищем количество лет, которое потребуется для распада 75% изначального количества. Это означает, что останется только 25% изначального количества атомов, то есть ( N = N_0 \times 0.25 ).
Запишем формулу для ( N = N_0 \times 0.25 ) и подставим значения:
[ N_0 \times 0.25 = N_0 \times (0.5)^n ]
Решим это уравнение для ( n ):
[ 0.25 = 0.5^n ]
[ 0.5^n = \frac{1}{4} ]
Чтобы найти значение ( n ), необходимо взять логарифм от обеих сторон уравнения:
[ n = \log_{0.5}(\frac{1}{4}) ]
Рассчитаем значение ( n ):
[ n = \log_{0.5}(\frac{1}{4}) \approx \log_{0.5}(2^{-2}) = -2 \times \log_{0.5}(2) = -2 \times 1 = -2 ]
Таким образом, для того чтобы распалось 75% атомов, потребуется ( 2 ) периода полураспада. С учетом того, что каждый период полураспада равен 5 годам, общее количество лет, необходимых для этого, будет ( 2 \times 5 = 10 ) лет.
