Задача 2: Изотоп имеет период полураспада 5 лет. Сколько лет потребуется, чтобы распалось 75% атомов?
Для решения данной задачи используется формула для расчета количества оставшихся атомов радиоактивного вещества после определенного количества периодов полураспада:
\[ N = N_0 \times (1 - \frac{1}{2})^n \]
Где:
- \( N \) - количество оставшихся атомов после \( n \) периодов полураспада
- \( N_0 \) - начальное количество атомов
- \( \frac{1}{2} \) - вероятность распада атома за один период полураспада (50%)
- \( n \) - количество периодов полураспада
Дано, что период полураспада изотопа равен 5 годам. Это означает, что за один период полураспада будет распадаться половина атомов изначального количества.
Пусть \( N_0 \) - изначальное количество атомов. После одного периода полураспада останется \( N_1 = N_0 \times \frac{1}{2} \) атомов. После двух периодов полураспада останется \( N_2 = N_1 \times \frac{1}{2} = N_0 \times (\frac{1}{2})^2 \) атомов. И так далее.
Мы ищем количество лет, которое потребуется для распада 75% изначального количества. Это означает, что останется только 25% изначального количества атомов, то есть \( N = N_0 \times 0.25 \).
Запишем формулу для \( N = N_0 \times 0.25 \) и подставим значения: \[ N_0 \times 0.25 = N_0 \times (0.5)^n \]
Решим это уравнение для \( n \): \[ 0.25 = 0.5^n \] \[ 0.5^n = \frac{1}{4} \]
Чтобы найти значение \( n \), необходимо взять логарифм от обеих сторон уравнения: \[ n = \log_{0.5}(\frac{1}{4}) \]
Рассчитаем значение \( n \): \[ n = \log_{0.5}(\frac{1}{4}) \approx \log_{0.5}(2^{-2}) = -2 \times \log_{0.5}(2) = -2 \times 1 = -2 \]
Таким образом, для того чтобы распалось 75% атомов, потребуется \( 2 \) периода полураспада. С учетом того, что каждый период полураспада равен 5 годам, общее количество лет, необходимых для этого, будет \( 2 \times 5 = 10 \) лет.
