Пусть O - центр окружности радиусом 8, вписанной в треугольник ABC. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 10.

Дано: Радиус окружности \(O\): \(r = 8\) Длина стороны треугольника \(AB\): \(AB = 10\) Чтобы найти площадь треугольника \(AOB\), нам нужно определить длину отрезка \(OA\). Поскольку точка \(O\) - центр вписанной окружности, линии \(AO\), \(BO\), \(CO\) являются радиусами окружности. Так как треугольник \(ABC\) является равнобедренным (AB = BC), то угол \(AOC\) (или угол \(BOC\)) равен \(90^\circ\), так как это центр окружности. Из этих сведений следует, что треугольник \(AOC\) (или \(BOC\)) является прямоугольным треугольником. Для определения стороны \(AO\) (или \(AO\) равно \(BO\)) мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOC\): \[ AC^2 = AO^2 + OC^2 \] Поскольку \(OC = r = 8\), где \(r\) - радиус окружности, и \(AC = AB = 10\), мы можем найти \(AO\): \[ 10^2 = AO^2 + 8^2 \\ 100 = AO^2 + 64 \\ AO^2 = 36 \\ AO = 6 \] Теперь, когда мы знаем, что \(AO = 6\) и \(OB = 6\) (так как треугольник равнобедренный), можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника: \[ Площадь\ AOB = \frac{1}{2} \times AO \times OB = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \] Итак, площадь треугольника \(AOB\) равна 18.