На доске написаны натуральные числа от 10 до 30. На каждом шаге стираются любые два числа, записанные на доске, а вместо них записывается число на 2 большее их суммы. Какое число останется на доске после 20 таких магов?

**Решение:** Давайте пошагово проанализируем, что происходит с числами на доске на каждом шаге: 1. Изначально на доске записаны числа от 10 до 30. 2. При каждом шаге выбираются любые два числа и заменяются суммой этих чисел плюс два. 3. Посмотрим, какие числа будут оставаться на доске после каждого шага и как они будут меняться: - **Шаг 1:** Сумма чисел 10 и 11 равна 10 + 11 = 21. Значит, на доске после первого шага останется число 21. - **Шаг 2:** Теперь предыдущее 21 и любое другое число суммируются и добавляются 2: 21 + 10 + 2 = 33. - **Шаг 3:** 33 + 12 + 2 = 47. - **И так далее...** 4. Мы можем увидеть, что на каждом шаге число на доске будет увеличиваться на 12 (сумма двух последовательных чисел). 5. Мы хотим найти число на доске после 20 шагов. 6. После 20 шагов на доске будет число, которое изначально было равно 21, увеличенное на 12 * 20 = 240. 7. Итак, после 20 шагов на доске останется число: 21 + 240 = 261. **Ответ:** После 20 шагов на доске останется число 261.