Проводится серия из 6 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,2 в каждом испытании. Найдите вероятность того, что ровно 4 испытания закончатся успехом.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Бернулли, так как каждое испытание является независимым и имеет только 2 исхода - успех или неудача.

По формуле Бернулли вероятность успеха (p) в каждом испытании равна 0.2, а вероятность неудачи (q) равна 0.8.

Чтобы найти вероятность того, что ровно 4 испытания закончатся успехом, мы можем воспользоваться формулой Бернулли для рассчёта вероятности биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times q^{n-k} \]

где:

• \( n = 6 \) - количество испытаний
• \( k = 4 \) - количество успешных испытаний
• \( p = 0.2 \) - вероятность успеха
• \( q = 0.8 \) - вероятность неудачи

Подставляя значения, получаем:

\[ P(X = 4) = \binom{6}{4} \times 0.2^4 \times 0.8^{6-4} \]

\[ P(X = 4) = \binom{6}{4} \times 0.2^4 \times 0.8^2 \]

\[ P(X = 4) = 15 \times 0.0016 \times 0.64 \]

\[ P(X = 4) = 15 \times 0.001024 \]

\[ P(X = 4) = 0.01536 \]

Таким образом, вероятность того, что ровно 4 испытания закончатся успехом составляет примерно 0.01536 или около 1.536%.